그리디
현재 상황에서 지금 당장 좋은 것만 고르는 방법
- 기준에 따라 좋은 것을 선택하는 기준을 알려줌 (가장 큰 순서대로, 가장 작은 순서대로 …)
- 대체로 정렬 알고리즘 사용 시 기준을 만족함
- 문제 풀이를 위한 최소한의 아이디어를 떠올리고 정당한지 검토
구현
머릿 속에 있는 알고리즘을 소스코드로 바꾸는 과정
- 풀이를 떠올리는 것은 쉽지만 소스코드로 옮기기 어려운 문제 (피지컬이 중요함)
- 완전탐색 : 모든 경우의 수를 주저없이 다 계산하는 해결방법
- 시뮬레이션 : 문제에서 제시한 알고리즘을 한 단계씩 차례대로 직접 수행
- 시간, 메모리 제한 확인
- 메모리 제한 400MB : 리스트 길이 1000만 이하
- 시간 제한 1초 : 데이터 개수 100개라면 복잡도 O(NlogN) 이하
방향 설정 문제
리스트 만들어서 방향 정하기
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step = [(-1, 0), ( ...)] dx = [-1, 0, 1, 0] dy = [0, 1, -1, 0]
DFS/BFS
자료구조
스택
선입 후출
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stack = [] stack.append(1) stack.pop()
큐
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from collections import deque
queue = deque()
queue.append(5)
queue.popleft()
queue.reverse() // 역순으로 바꾸기
DFS (Depth First Search, 깊이 우선 탐색)
- 동작과정
- 탐색 시작 노드를 스택에 삽입하고 방문 처리를 한다.
- 스택의 최상단 노드에 방문하지 않은 인접 노드가 있으면 그 인접 노드를 스택에 넣고 방문 처리를 한다. 방문하지 않은 노드가 없으면 스택에서 최상단 노드를 꺼낸다.
- 2번의 과정을 더 이상 수행할 수 없을 때까지 반복한다.
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def dfs(graph, v, visited) :
# 현재 노드를 방문 처리
visited[v] = True
print(v, end=' ')
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 재귀적으로 방문
for i in graph[v] :
if not visited[i] :
dfs(graph, i, visitied)
# 각 노드가 연결된 정보를 리스트 자료형으로 표현(2차원 리스트)
graph = [
[],
[2, 3, 8],
[1, 7],
[1, 4, 5],
[3, 5],
[3, 4],
[7],
[2, 6, 8],
[1, 7]
]
# 각 노드가 방문된 정보를 리스트 자료형으로 표현(1차원 리스트)
visited = [False] * 9
# 정의된 DFS 함수 호출
dfs(graph, 1, visited)
- 방문 정보(1차원리스트), 노드 정보(2차원리스트) 필요
- 방금 방문한 노드의 리스트를 탐색
BFS(Breadth First Search, 너비 우선 탐색)
- 동작과정
- 탐색 시작 노드를 큐에 삽입하고 방문 처리를 한다.
- 큐에서 노드를 꺼내 해당 노드의 인접 노드 중에서 방문하지 않은 노드를 모두 큐에 삽입하고 방문 처리를 한다.
- 2번의 과정을 더 이상 수행할 수 없을 때까지 반복한다.
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from collections import deque
#BFS 메서드 정의
def bfs(graph, start, visited) :
# 큐(queue) 구현을 위해 deque 라이브러리 사용
queue = deque([start])
# 현재 노드를 방문 처리
visited[start] = True
# 큐가 빌 때까지 반복
while queue :
# 큐에서 하나의 원소를 뽑아 출력
v = queue.popleft()
print(v, end=' ')
# 해당 원소와 연결된, 마치 방문하지 않은 원소들을 큐에 삽입
for i in graph[i] :
queue.append(i)
visited[i] = True
# 각 노드가 연결된 정보를 리스트 자료형으로 표현(2차원 리스트)
graph = [
[],
[2, 3, 8],
[1, 7],
[1, 4, 5],
[3, 5],
[3, 4],
[7],
[2, 6, 8],
[1, 7]
]
# 각 노드가 방문한 정보를 리스트 자료형으로 표현(1차원 리스트)
visited = [False] * 9
# 정의된 BFS 함수 호출
bfs(graph, 1, visited)
- 방문 정보(1차원리스트), 노드 정보(2차원리스트), 큐 필요
- 방금 방문한 노드의 리스트를 큐에 삽입
| DFS | BFS | |
|---|---|---|
| 동작 원리 | 스택 | 큐 |
| 구현 방법 | 재귀 함수 이용 | 큐 자료구조 이용 |
- 2차원 배열에서의 탐색 문제 > 그래프 형태로 바꿔서 표현
정렬
데이터를 특정한 기준에 따라서 순서대로 나열하는 것
선택 정렬
- 가장 작은 데이터를 ‘선택’해서 맨 앞에 있는 데이터와 바꾼다.
- 정렬된 맨 앞 데이터를 제외하고 가장 작은 데이터를 선택해 앞에서 두번째 데이터와 바꾼다.
- 2를 반복한다.
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array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
for i in range(len(array)) :
min_index = i # 가장 작은 원소의 인덱스
for j in range(i + 1, len(array)) :
if array[min_index] > array[j] :
min_index = j
array[i], array[min_index] = array[min_index], array[i] # 스와프
print(array)
- 시간복잡도 : \(O(N^2)\)
삽입 정렬
- 두 번째 데이터가 어떤 위치로 들어갈지 판단한다. (첫 번째 데이터는 그 자체로 정렬되어 있다고 판단)
- 그 다음 데이터가 정렬된 데이터 중 어떤 위치로 들어갈지 판단한다. (왼쪽으로 한 칸씩 이동하면서 자신 보다 작은 데이터를 만났을 때 그 위치에 삽입)
- 2를 반복한다.
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array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
for i in range(1, len(array)) :
for j in range(i, 0, -1) : # 인덱스 i부터 1까지 감소하며 반복하는 문법
if array[i] < array[j - 1] : # 한 칸씩 왼쪽으로 이동
array[j], array[j - 1] = array[j - 1], array[j]
else : # 자기보다 작은 데이터를 만나면 그 위치에서 멈춤
break
print(array)
- 시간복잡도 : \(O(N^2)\)
- 거의 정렬되어 있는 상태라면 \(O(N)\)
퀵 정렬
- 첫 번째 데이터를 피벗(Pivot)으로 정한다.
- 왼쪽에서부터 피벗보다 큰 데이터를 찾고, 오른쪽에서부터 피벗보다 작은 데이터를 찾는다.
- 큰 데이터와 작은 데이터의 위치를 서로 교환해준다.
- 왼쪽에서 찾는 값과 오른쪽에서부터 찾는 값의 위치가 서로 엇갈린 경우 ‘작은 데이터’와 ‘피벗’의 위치를 서로 변경하여 분할을 수행한다.
- 분할이 완료되면 왼쪽 리스트와 오른쪽 리스트 개별적으로 정렬을 반복한다.
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array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
def quick_sort(array, start, end) :
if start >= end : # 원소가 1개인 경우 종료
return
pivot = start # 피벗은 첫 번째 원소
left = start + 1
right = end
while left <= right :
# 피벗보다 큰 데이터를 찾을 때까지 반복
while left <= end and array[left] <= array[pivot] :
left += 1
# 피벗보다 작은 데이터를 찾을 때까지 반복
while right > start and array[right] >= array[pivot] :
right -= 1
if left > right : # 엇갈렸다면 작은 데이터와 피벗을 교체
array[right], array[pivot] = array[pivot], array[right]
else : # 엇갈리지 않았다면 작은 데이터와 큰 데이터를 교체
array[left], array[right] = array[right], array[left]
# 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬 수행
quick_sort(array, start, right - 1)
quick_sort(array, right + 1, end)
quick_sort(array, 0, len(array) - 1)
print(array)
파이썬의 장점을 살린 퀵 정렬 소스코드
- 전통 퀵 정렬 방식에 비해서 피벗과 데이터를 비교하는 비교 연산 횟수가 증가하므로 시간 면에서는 조금 비효율적이다.
- 직관적이고 기억하기 쉽다.
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array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8] def quick_sort(array) : # 리스트가 하나 이하의 원소만을 담고 있다면 종료 if len(array) <= 1 : return array pivot = array[0] # 피벗은 첫 번째 원소 tail = array[1:] # 피벗을 제외한 리스트 left_side = [x for x in tail if x <= pivot] # 분할된 왼쪽 부분 right_side = [x for x in tail if x > pivot] # 분할된 오른쪽 부분 # 분할 이후 왼쪽 부분과 오른쪽 부분에서 각각 정렬을 수행하고, 전체 리스트를 반환 return quick_sort(left_side) + [pivot] + quick_sort(right_side) print(quick_sort(array))
시간복잡도(평균) : \(O(NlogN)\)
- 이미 데이터가 정렬되어 있는 경우(최악) : \(O(N^2)\)
계수 정렬
- 특정한 조건이 부합할 때만 사용할 수 있지만 매우 빠른 정렬 알고리즘
- 가장 큰 데이터와 가장 작은 데이터의 범위가 모두 담길 수 있도록 하나의 리스트를 생성한다.
- 데이터를 하나씩 확인하며 데이터의 값과 동일한 인덱스의 데이터를 1씩 증가시킨다.
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# 모든 원소의 값이 0보다 크거나 같다고 가정
array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 9, 1, 4, 8, 9, 5, 2]
# 모든 범위를 포함하는 리스트 선언(모든 값은 0으로 초기화)
count = [0] + (max(array) + 1)
for i in range(len(array)) :
count[array[i]] += 1 # 각 데이터에 해당하는 인덱스의 값 증가
for i in range(len(count)) : # 리스트에 기록된 정렬 정보 확인
for j in range(count[i]) :
print(i, end=' ') # 띄어쓰기를 구분으로 등장한 횟수만큼 인덱스 출력
- 시간복잡도 : \(O(N + K)\)
- K : 데이터 중 최대값의 크기
- 데이터의 크기가 한정되어있고, 많이 중복되어 있을 수록 유리
파이썬의 정렬 라이브러리
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array = [7, 5, 9, 0, 3, 1, 6, 2, 4, 8]
# sorted()
result = sorted(array)
# sort()
array.sort()
# key 활용
def setting(data) :
return data[1]
result = sorted(array, key=setting)
- sorted()
- 리스트, 딕셔너리 등을 입력받아 정렬된 결과를 반환한다.
- 집합 자료형이나 딕셔너리 자료형을 입력받아도 반환되는 결과는 리스트 자료형이다.
- 병합 정렬을 기반으로 만들어졌다.
- 시간복잡도 : \(O(NlogN)\)
- sort()
- 별도의 정렬된 리스트가 반환되지 않고 내부 원소가 바로 정렬된다.
- key 활용
- key 값으로 정렬 기준이 되는 함수가 들어가야 한다.
- 람다 함수 사용 가능
정렬 정리
- 문제에서 별도의 요구가 없이 단순 정렬해야하는 상황에서는 기본 정렬 라이브러리 사용
- 데이터의 범위가 한정되어 있으며, 더 빠르게 동작해야하는 경우 계수 정렬 사용
정렬 알고리즘이 사용되는 문제 유형 3가지
- 정렬 라이브러리로 풀 수 있는 문제 : 기본 정렬 라이브러리 사용
- 정렬 알고리즘의 원리에 대해서 물어보는 문제 : 선택, 삽입, 퀵 정렬 등
- 더 빠른 정렬이 필요한 문제 : 계수 정렬 등 이용하거나 기존 알고리즘의 구조적인 개선을 거쳐야 풀 수 있다.
이진 탐색
순차 탐색
리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 차례대로 확인하는 방법
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# 순차탐색 소스코드 구현
def sequential_search(n, target, array) :
# 각 원소를 하나씩 확인
for i in range(n) :
# 현재의 원소가 찾고자 하는 원소와 동일한 경우
if array[i] == target :
return i + 1 # 현재의 위치 반환(인덱스는 0부터 시작하므로 1 더하기)
input_data = input().split()
n = int(input_data[0]) # 원소의 개수
target = input_data[1] # 찾고자 하는 문자열
array = input().split()
# 순차 탐색 수행 결과 출력
print(sequential_search(n, target, array))
이진 탐색
반으로 쪼개면서 탐색하기
- 배열 내부의 데이터가 정렬되어 있어야 사용할 수 있다.
- 위치를 나타내는 변수 3개를 사용한다. (시작점, 끝점, 중간점)
- 중간점이 실수일 때는 소수점을 버린다.
- 찾으려는 데이터와 중간점 위치에 있는 데이터를 반복적으로 비교해서 원하는 데이터를 찾는 것
- 찾으려는 데이터가 중간 데이터보다 작을 경우
- 시작점 그대로
- 끝점 = 중간점 - 1
- 찾으려는 데이터가 중간 데이터보다 클 경우
- 시작점 = 중간점 + 1
- 끝점 그대로
- 찾으려는 데이터가 중간 데이터보다 작을 경우
- 시간복잡도 : \(O(logN)\)
- 한 번 확인할 때마다 확인하는 원소의 개수가 절반씩 줄어든다.
재귀 함수로 구현한 이진 탐색
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# 이진 탐색 소스코드 구현 (재귀함수) def binary_search(array, target, start, end) : if start > end : return None mid = (start + end) // 2 # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환 if array[mid] == target : return mid # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인 elif array[mid] > target : return binary_search(array, target, start, mid - 1) # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인 else : return binary_search(array, target, mid + 1, end) # 원소의 개수, 찾고자 하는 문자열 입력받기 n, target = list(map(int, input().split())) # 전체 원소 입력받기 array = list(map(int, input().split())) # 이진 탐색 수행 결과 result = binary_search(array, target, 0, n - 1) if result == None : print("원소가 존재하지 않습니다.") else : print(result + 1)
반복문으로 구현한 이진 탐색
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# 이진 탐색 소스코드 구현(반복문) def binary_search(array, target, start, end) : while start <= end : mid = (start + end) // 2 # 찾은 경우 중간점 인덱스 반환 if array[mid] == target : return mid # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인 elif array[mid] > target : end = mid - 1 # 중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인 else : start = mid + 1 return None # 위와 동일..
빠르게 입력받기
입력 데이터의 개수가 많은 문제에 input() 함수를 사용하면 동작 속도가 느려서 시간 초과로 오답 판정을 받을 수 있다.
sys 라이브러리의 readline() 함수 이용
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import sys # 하나의 문자열 데이터 입력받기 input_data = sys.stdin.readline().rstrip()
- 한 줄 입력받고 나서 rstrip() 호출 : readline()으로 입력하면 엔터가 줄바꿈 기호로 입력되기 때문
다이나믹 프로그래밍
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
- 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다. (같은 문제라면 한번씩만 풀어서 문제를 효율적으로 해결)
메모이제이션
- 한 번 구한 정보를 리스트에 저장
- 다이나믹 프로그래밍을 재귀적으로 수행하다가 같은 정보가 필요할 때 이미 구한 답을 그대로 리스트에서 가져온다.
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# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션 하기 위한 리스트 초기화 d = [0] * 100 # 피보나치 함수를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍) def fibo(x) : print('f(' + str(x) + ')', end=' ') # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환) if x == 1 or x == 2 : return 1 # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환 if d[x] != 0 : return d[x] # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환 d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2) return d[x] print(fibo(6)) # 호출되는 함수 f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)
탑다운 / 보텀업
- 탑다운(Top-Down) 방식
- 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출한다.
- 재귀 함수를 이용하여 작성
- 메모이제이션 : 한 번 계산된 결과를 저장, 때에 따라 다른 자료형 이용(딕셔너리 등)
- 하향식
- 보텀업(Botton-Up) 방식
- 작은 문제부터 차근차근 답을 도출한다.
- 반복문을 이용하여 작성
- DP 테이블 : 결과 저장용 리스트
- 상향식
- 탑다운(Top-Down) 방식
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# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP테이블 초기화
d = [0] * 100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
# 피보나치 함수 반복문으로 구현 (보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1) :
d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n])
문제를 푸는 방법
- 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것 (특정 문제를 완전 탐색 알고리즘으로 접근했을 때 너무 오래 걸리면 중복되는 부분이 있는지 확인)
- 재귀함수로 작성한 뒤에 메모이제이션 적용할 수 있으면 코드를 개선하기
- 가능하다면 보텀업 방식으로 구현하는 것을 권장 (시스템상 재귀함수의 스택 크기가 한정되어 있을 수 있기 때문)
- 오천 번째 이상의 큰 피보나치 수를 구하면 recursion dept 관련 오류가 발생할 수 있다. -> 이 경우 sys 라이브러리의 setrecursionlimit() 함수를 호출하여 재귀 제한을 완하할 수 있다.
최단 경로
가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
다익스트라 최단 경로 알고리즘
특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
- '’음의 간선’‘이 없을 때 정상적으로 동작한다.
- ‘각 노드에 대한 현재까지의 최단거리 정보’를 항상 1차원 리스트에 저장하여 리스트를 계속 갱신한다. (최단거리 테이블)
원리
- 출발 노드를 설정한다.
- 최단 거리 테이블을 초기화한다. (출발 노드는 0, 나머지는 무한)
- 방문하지 않은 노드에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 3, 4번을 반복한다.
알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는다.
- 방문하지 않은 노드 중 가장 최단거리가 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 ‘최단 거리’가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.
구현 방법
- 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
- 구현하기 조금 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드
간단한 다익스트라 알고리즘
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import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e09) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모드 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드와 번호를 반환
def get_smallest_node() :
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드 (인덱스)
for i in range(1, n + 1) :
if distance[i] < min_value and not visited[i] :
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start) :
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start] :
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i range(n - 1) :
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now] :
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]] :
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1) :
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
if distance[i] == INF :
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
else :
print(distance[i])
- 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해 최단 거리 테이블을 앞에서부터 하나씩(선형적으로) 탐색
- input()을 sys.std.readline()으로 치환하여 사용
- 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 바로 접근할 수 있도록 한다.
- 시간복잡도 : \(O(V^2)\)
- V는 노드의 개수
- 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 경우 문제 해결하기 어려움
개선된 다익스트라 알고리즘
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import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e09) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모드 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start) :
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q : # 큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist :
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now] :
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]] :
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1) :
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
if distance[i] == INF :
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
else :
print(distance[i])
- 힙 자료구조 사용
- 우선순위 큐 라이브러리 사용 (heapq)
- 우선순위 기준을 정해서, 기준값이 가장 크거나, 가장 작은 데이터가 먼저 나온다. (각각 최대 힙, 최소 힙)
(거리, 노드) -> '노드' 값이 우선순위 값 - 파이썬 라이브러리에서 기본 적으로 최소 힙 구조를 이용한다.
- 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 사용하면 적합하다.
- 우선순위 기준을 정해서, 기준값이 가장 크거나, 가장 작은 데이터가 먼저 나온다. (각각 최대 힙, 최소 힙)
- 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체한다. (get_smallest_node() 함수 필요 없음)
- 우선순위 큐 라이브러리 사용 (heapq)
- 시간복잡도 : \(O(ElogV)\)
- V는 노드의 개수, E는 최대 간선의 개수
- 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것이므로 \(O(ElogE)\) 중복 간선을 포함하지 않는 경우 E는 항상 \(V^2\)보다 작다. (모든 노드끼리 연결되어 있을 경우 간선의 개수는 약 \(V^2\)이고, E는 항상 \(V^2\)이기 때문이다.) -> \(logE\)는 \(logV^2\)보다 작다. -> \(logV^2\) == \(2logV\) == \(logV\) 따라서 전체 시간 복잡도는 \(O(ElogV)\)
플로이드 워셜 알고리즘
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 경우 사용할 수 있는 알고리즘
- 각 단계에서 해당 노드를 거쳐가는 모든 경우를 고려한다.
- 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고 N-1 개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A, B) 쌍을 선택하여 자기 자신을 거쳐가는 거리를 계산하여 최단 거리를 갱신한다.
- 점화식 :
A -> B최소 비용과A -> 현재노드 -> B중에 더 작은 값으로 갱신한다. - \({}_N-1P_2\) 개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인 = \(O(N^2)\) 과 같다고 볼 수 있음
- 각 단계를 N번 반복하므로
시간복잡도 $$O(N^3)$$
- ‘2차원 리스트’에 최단 거리 정보를 저장한다.
- 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다.
원리
- 초기 테이블을 설정한다. 연결된 간선은 값을 채워넣고, 연결되지 않은 간선은 ‘무한’ 값을 넣는다. 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화한다.
- 모든 노드에 대하여 각 노드를 거쳐가는 경우를 갱신한다.
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INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1) :
for b in range(1, n + 1) :
if a == b :
graph[a][b] == 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m) :
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1) :
for a in range(1, n + 1) :
for b in range(1, n + 1) :
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1) :
for b in range(1, n + 1) :
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == INF :
print("INFINITY", end=' ')
# 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
else :
print(graph[a][b], end=' ')
print()
그래프 이론
서로소 집합
공통 원소가 없는 두 집합
- 서로소 집합 자료구조 : 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
- union, find 연산으로 조작할 수 있다.
- union : 2개의 원소가 포함된 집합을 하나로 합치는 연산
- find : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
- 서로소 집합을 활용한 사이클 판별
- 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.
- 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
- 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
신장 트리
하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프
크루스칼 알고리즘
최소 신장 트리 알고리즘 (최소 비용으로 만들 수 잇는 신장 트리를 찾는 알고리즘)
- 시간복잡도 : \(O(ElogE)\)
위상 정렬
방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것’
- 시간복잡도 : \(O(V + E)\)
출처📎
이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬